- derived from 《概率论与数理统计》 高祖新、陈华均
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古典概率
古典概率与古典概型
定义1.1： 随机事件A发生的可能性大小的数值度量就称为事件A发生的概率，记作\(P(A)\)。
首先来考虑一类最简单的随机现象，它具有以下特点：
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它的基本事件为有限个，设为\({\omega}_1,....,{\omega}_n\)，则\(\Omega = \{ \omega_1,....,\omega_n \};\)
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每个基本事件的出现是等可能的。
这类随机现象的数学模型称为古典概型，这是因为它们是概率论发展初期所研究的主要对象。
对于古典概型，我们有
定义1.2： 设随机试验为古典概型，其样本空间为\(\Omega = \{ \omega_1,....,\omega_n \}\)，若事件A由m个基本事件构成，则事件A的概率为： \[ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{A所包含的基本事件数}{基本事件数} \] 该定义即为概率的古典定义，简称古典概率。
古典概率的性质
对于古典概型而言，其样本空间\(\Omega = \{ \omega_1,....,\omega_n \}\)是个必然事件，它发生的可能性为1。又由于每个事件\(\omega_i\)发生的可能性相同，都为\(\frac{1}{n}\)。即：\(P( \omega_1 ) = P( \omega_2 ) = .... =P( \omega_n ) = \frac{1}{n},\) 有因事件A含m个基本事件，不妨设： \(A = \{ {\omega}_{i_1},....,{\omega}_{i_m} \}\) 则： \[ P(A) = P({ \omega_{i_1}}) + P({ \omega_{i_2}}) + …. + P({ \omega_{i_m}}) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + …. = \frac{m}{n} \] 这就得到了古典概率的定义公式。由该定义公式，不难得到古典概率的基本性质：
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对于任意事件A，\(0 \le P(A) \le 1\)。
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\(P(\Omega) = 1, P(\phi) = 0\)；
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若事件\(A_1, .... , A_K\)互不相容，则： \[ P(\bigcup_{i=1}^{k}A_i) = \sum_{i=1}^{k}P(A_i) \]
BINISM
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